전개도, 입체도형을 평면 위에 펴 놓은 그림

입체도형의 전개도는 입체도형을 한 평면 위에 펴 놓은 그림이다. 전개도는 3차원 물체를 2차원 평면에 나타내기 때문에 평면과 공간 사이의 관계를 잘 이해하고 있어야 한다. 한 입체도형의 전개도는 여러 가지가 있기 때문에 그 입체도형의 전개도가 몇 가지인지 알아내는 것은 흥미로운 수학 가운데 하나이다. 여기서는 정육면체의 전개도에 대하여 알아보자.     전개도, 입체도형을 평면 위에 펴 놓은 그림 아래 두 개의 그림 가운데 정육면체의 전개도는 어떤 것일까?

 

 

윗 그림 중 왼쪽 그림이 정육면체의 전개도라는 것은 이미 잘 알고 있다. 그렇다면 오른쪽 그림도 정육면체의 전개도일까? 만일 그렇다면, 또 다른 전개도가 있을까? 있다면 과연 서로 다른 모양의 전개도는 몇 개일까?     정육면체의 전개도는 몇 가지일까? 이제부터 이 물음에 대한 답을 알아보자. 그런데 답을 알아내기 위해서는 수형도(樹形圖)라고도 하는 트리(tree)에 대하여 먼저 알아야 한다. 트리는 꼭짓점과 변으로 이루어져 있으며 꼭짓점 사이에 적당하게 변이 연결되어 있기 때문에 어떤 꼭짓점에서 다른 꼭짓점으로 변을 따라서 갈 수 있는 경로가 있는 그림이다. 트리에서 어떤 두 개의 꼭짓점이 인접해 있다는 것은 두 꼭짓점을 잇는 변이 있는 경우이다. 또 트리는 그리는 사람에 따라서 꼭짓점의 위치나 변의 길이가 같지 않을 수 있다. 그러나 꼭짓점의 위치를 바꾸거나 변을 구부리거나 늘이거나 줄여서 두 트리가 같은 그림으로 그려질 수 있으면 두 트리는 같은 것으로 한다.     전개도를 알려면, 트리(tree)에 대해서 알아야 한다 예를 들어 6개의 꼭짓점을 갖는 트리에 대하여 알아보자.

 

 

 

윗 그림 왼쪽에 있는 두 개의 그림은 꼭짓점 ①에서 꼭짓점 ②나 꼭짓점 ⑥으로 가는 경로가 있다. 이 두 그림의 다른 어떤 꼭짓점 두 개를 선택해도 그 두 꼭짓점을 잇는 경로가 항상 있으므로 꼭짓점을 6개 가진 트리이다. 특히 한 트리의 꼭짓점 위치와 변을 적당히 조절하면 다른 하나와 같이 그릴 수 있으므로 두 트리는 같다. 또 꼭짓점 ①과 꼭짓점 ②를 잇는 변이 있기 때문에 두 꼭짓점은 인접해 있지만, 꼭짓점 ①과 꼭짓점 ③을 직접 잇는 변은 없기 때문에 꼭짓점 ①과 ③은 인접해 있지 않다.   그러나, 윗 그림의 오른쪽 그림은 꼭짓점 ①에서 꼭짓점 ②로 가는 경로가 있지만 꼭짓점 ①에서 꼭짓점 ④로 가는 경로가 없다. 따라서 이 그림은 트리가 아니다.     꼭짓점이 6개인 트리에는 어떤 것들이 있을까? 이제 꼭짓점이 6개인 트리에는 어떤 것들이 있는지 알아보자. 윗 그림의 왼쪽의 트리는 분명히 꼭짓점 6개를 가지고 있으므로 이 트리를 이용하여 다른 트리를 구해보자. 먼저 이 트리에서 연결된 한 개의 꼭짓점을 택하여 다른 꼭짓점에 연결하는 경우를 생각해 보자. 이를테면 꼭짓점 ⑥을 꼭짓점 ⑤와 연결하는 것이 아니고 ④와 연결하면 아래 그림 왼쪽과 같은 트리가 되며, 이 트리는 아랫 그림 오른쪽 2개의 트리와 같은 것이다.

 

 

 

마찬가지 방법으로 윗그림 왼쪽의 트리에서 꼭짓점 ⑥을 꼭짓점 ③에 연결하면 아래 그림과 같은 트리를 얻을 수 있다.

 

 

 

그런데 꼭짓점 ⑥을 꼭짓점 ②에 연결하는 것은 ④에 연결하는 트리와 같은 것이고, 꼭짓점 ①에 연결하는 것은 원래의 트리와 같은 것이므로 한 개의 꼭짓점을 다른 꼭짓점에 연결하는 경우는 위의 경우가 모두이다.   이제 원래의 트리(일자모양트리)에서 연결된 두 개의 꼭짓점을 택하여 다른 꼭짓점에 연결하는 방법을 생각해 보자. 이 경우는 두 개의 꼭짓점을 같이 움직이는 경우와 따로 움직이는 경우 두 가지가 있으며, 그 각각은 다음 그림의 왼쪽과 중간의 서로 다른 두 가지 트리가 만들어진다. 마지막으로 꼭짓점 세 개를 움직이는 방법으로 구할 수 있는 트리는 앞에서 구한 것을 제외하면 아래 그림 오른쪽과 같은 트리 하나뿐임을 알 수 있다.

 

 

 

 

꼭짓점이 6개인 트리는 총 6개 그러므로 꼭짓점 6개를 갖는 트리는 아래와 같이 모두 6개임을 알 수 있다.

 

 

 

 

인접하지 않는 꼭짓점을 선택할 수 있은 트리, 짝트리 위의 각 트리에서 서로 인접하지 않은 꼭짓점 두 개씩을 택하면 여섯 개의 꼭짓점을 세 개의 짝으로 나눌 수 있는데, 이렇게 꼭짓점을 선택할 수 있는 트리를 짝트리(paired tree)라고 한다. 예를 들어 윗 그림의 (4)번 트리는 (①, ③), (②, ④), (⑤, ⑥)과 같이 서로 인접하지 않은 꼭짓점 두 개씩을 택할 수 있으므로 짝트리이다. 하지만 (6)번 트리는 인접하지 않은 꼭짓점을 두 개씩 선택하여 세 짝으로 나눌 수 없기 때문에 짝트리가 아니다. 실제로 윗 그림의 트리들은 (6)을 제외하고는 모두 짝트리이다. 짝트리에서 인접하지 않은 두 꼭짓점을 선택한다는 것은 입체도형의 평면도에서 서로 마주 보는 두 면을 선택하는 것과 같다. 이때 짝트리에서 변은 정육면체의 전개도에서 두 면이 연결되어 있는 경우이다.     짝트리를 이용하여 전개도를 만든다 다음 짝트리에서 각각의 꼭짓점을 정육면체의 전개도의 각각의 면으로 생각하면 짝트리에서 인접하지 않은 두 꼭짓점은 정육면체에서 서로 인접하지 않은 면임을 알 수 있다. 즉, 윗 그림의 (4)번 짝트리를 이용하여 만들 수 있는 정육면체의 전개도가 아래와 같음을 알 수 있다.

 

 

 

이제 그러면 처음에 제시한 문제의 그림이 정육면체의 전개도인지 확인해보자. 아래와 같이 (1)번 짝트리에서 인접하지 않은 두 꼭짓점을 (①, ④), (②, ⑥), (③, ⑤)와 같이 선택하고 나서 짝이 된 꼭짓점 ①과 ④는 1로, ②와 ⑥은 2로, ③과 ⑤는 3으로 표시하자. 이때 짝을 이룬 두 꼭짓점은 전개도에서 서로 마주 보는 면이고, 짝트리에서 변은 전개도에서 연결된 면이므로 다음 그림과 같이 전개도를 구할 수 있다.

 

 

 

 

정육면체의 전개도는 총 11개 이처럼 짝트리를 이용하여 정육면체의 서로 다른 전개도를 구하면 다음과 같이 모두 11개임을 알 수 있다.

 

 

 

이처럼 0차원인 점과 1차원인 선으로 훨씬 복잡한 차원인 3차원 공간도형의 전개도를 알아낼 수 있는 분야는 수학뿐이니, 어찌 수학이 아름답다고 하지 않을 수 있겠는가?